TP Quantique - Valeurs propres et vecteurs propres

Il s’agit en utilisant Python et PyLab de résoudre un exercice de quantique simple. Les matrices considérées sont de petite taille de façon à pouvoir vérifier facilement les calculs à la main.

Dans un espace vectoriel à deux dimensions, on considère un opérateur \(A\) représenté, dans une base orthonormée \(\{|1>, |2>\}\), par la matrice suivante :

\[\begin{split}\sigma_y=\begin{bmatrix}0 & -i\\ i & 0\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Question (a) : Hermiticité

\(A\) est-il hermitique ?

Question (b) : Valeurs propres et vecteurs propres

Calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propres \(|u_1>\) et \(|u_2>\) (on donnera leur développement normalisé sur la base \(\{|1>, |2>\}\)). Vérifier que les vecteurs propres satisfont à des relations d’orthogonalité.

Question (c) : Projecteurs

Calculer les matrices \(P_1\) et \(P_2\) représentant les projecteurs sur les vecteurs propres \(|u_1>\) et \(|u_2>\), respectivement. Avec ces matrices, vérifier que les vecteurs propres satisfont à une relation de fermeture. Calculer les produits de matrices \(P_1 P_2\) et \(P_2 P_1\). Commenter votre résultat.

Cet exercice est inspiré d’un exercice du livre Mécanique quantique - Tome1 de Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Editeur Hermann (1997).